如何在 Python 中计算模乘逆

Python 2月前 83

在数学中，模乘逆是一个非常重要的概念。它是指在模运算下，一个数的乘法逆元。在计算机科学中，它也有着广泛的应用，例如在密码学中的公钥加密算法中，RSA算法就是利用模乘逆来实现的。

在本文中，我们将介绍在 Python 中如何计算模乘逆，并且会给出一些实例和注意事项。

模乘逆的定义

在模运算下，如果一个数x乘以一个数y得到的结果与模数m取模后等于1，那么我们称y是x的模乘逆，记为y ≡ x⁻¹ (mod m)。

换句话说，如果 xy ≡ 1 (mod m)，则 y 是 x 的模乘逆。

例如，如果我们要计算 3 在模 11 下的乘法逆元，即 3⁻¹ (mod 11)，我们需要找到一个数 y，使得 3y ≡ 1 (mod 11)。

我们可以通过暴力枚举的方式来找到这个数 y，即从 1 开始依次尝试，直到找到一个数使得 3y ≡ 1 (mod 11)。在这个例子中，我们可以发现 3 × 4 ≡ 1 (mod 11)，因此 4 是 3 在模 11 下的乘法逆元。

注意事项

在计算模乘逆时，需要注意以下几点：

模数 m 必须是一个质数。如果 m 不是质数，那么有可能不存在模乘逆元，或者存在多个模乘逆元。
如果 x 和 m 不互质，那么 x 在模 m 下没有乘法逆元。
计算模乘逆时，可以使用扩展欧几里得算法，该算法可以高效地计算模乘逆。

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法是求解两个整数的最大公约数时使用的一种算法。它的基本思想是利用辗转相除的方式，不断更新两个整数的值，直到余数为 0。在这个过程中，我们可以得到两个整数的最大公约数和一组整数解，满足 ax + by = gcd(a, b)。

在计算模乘逆时，我们可以使用扩展欧几里得算法来求解。具体来说，假设我们要计算 x 在模 m 下的乘法逆元 y，那么我们可以利用扩展欧几里得算法求解 ax + my = 1 的一组整数解 (x, y)，其中 a = x，b = m，然后我们就可以得到 y = x⁻¹ (mod m)。

Python 实现

下面是一个 Python 实现，用于计算 x 在模 m 下的乘法逆元：

def mod_inverse(x, m):
    """
    计算 x 在模 m 下的乘法逆元
    """
    a, b = x, m
    x0, y0, x1, y1 = 1, 0, 0, 1
    while b != 0:
        q, r = divmod(a, b)
        a, b = b, r
        x0, x1 = x1, x0 - q * x1
        y0, y1 = y1, y0 - q * y1
    return x0 % m